両端支持梁（集中荷重）の計算（断面２次モーメント指定）

集中荷重による両端支持梁の計算

集中荷重による両端支持梁の強度を計算します。

1. 集中荷重$P$、荷重の左端からの距離$a$、梁の長さ$l$を入力します。
2. 材質を選択するとヤング率$E$、密度$\rho$が自動で入力されます。値は適宜変更してください。
3. 自重による影響のありなしを選択します。
4. 断面２次モーメント$I$、断面係数$Z$、断面積$A$を入力します。
   断面２次モーメントと断面係数、断面積は以下のページで計算できます。
   →断面二次モーメントと断面係数の計算
5. 最大せん断力$Q$、最大曲げ応力$\sigma$、最大曲げモーメント$M$、最大たわみ$\delta$が計算されます。それぞれの発生位置$x$（左端からの距離）も出力されます。

※各物理量の単位に注意してください。

※断面２次モーメントと断面係数、断面積は以下のページで計算できます。
→断面二次モーメントと断面係数の計算

計算式

集中荷重

両端が単純支持された長さ $l$ の梁に、左端から $a$ の位置に集中荷重 $P$ を作用させます。このときの諸量は以下のようになります。

せん断力

左端で、

$$Q = \frac{P b}{l} $$

右端で、

$$Q = -\frac{P a}{l} $$

ここで、$b=l-a$

曲げモーメント
$$ M = \begin{equation} \begin{cases} \; \displaystyle \frac{P b x}{l} &  x \le a \\ \; \\ \; \displaystyle \frac{P a (l - x)}{l} &  x \ge a \end{cases} \end{equation}$$

ここで、$x$は左端からの距離

曲げ応力
$$ \sigma = \frac{M}{Z}$$

たわみ

最大曲げモーメント

以下、自重を考慮しない場合、荷重の位置で

$$M=\frac{Pab}{l}$$

最大たわみ

$a>b$の場合、$x=\sqrt{(a^2+2ab)/3}$の位置で、

$$\delta = \frac{P b}{3 l E I} \sqrt{\left(\frac{a^2+2ab}{3} \right)^3}$$

$a<b$の場合、$x=l-\sqrt{(b^2+2ab)/3}$の位置で、

$$\delta = \frac{P a}{3 l E I} \sqrt{\left(\frac{b^2+2ab}{3} \right)^3}$$

自重

また、自重による影響は、自重を等分布荷重として計算できます。重力加速度$g$は上図のように下向きにかかっているとします。

せん断力（端部）
$$ Q = \frac{wl}{2} $$

曲げモーメント
$$ M = \frac{wx}{2} (l - x)$$

曲げ応力
$$ \sigma = \frac{M}{Z}$$

たわみ
$$ \delta = \frac{w x}{24EI} (l^3-2lx^2+x^3)$$

ここで、$w=\rho g A$

最大曲げモーメント

中央位置で、

$$M=\frac{wl^2}{8}$$

最大たわみ

中央位置で、

$$\delta=\frac{5wl^4}{384EI}$$

自重による影響を考慮する場合は、これらを集中荷重の結果に加えて計算します。

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