CATTHMの理論式

オンライン熱解析CATTHMの理論式を説明します。

熱回路網法

CATTHMでは熱回路網法に基づいた定式化で計算を行っています。

熱回路網法とは、熱伝達経路を電気回路のアナロジーで構築し計算する手法です。

あるノード$N_i$の温度$T_i$は、そのノードに接続する全てのノード$N_j$からの熱流量により決定します。ノード間の熱抵抗を$R_{ij}$とすると、以下の式が成り立ちます。

$$C_i \frac{d T_i}{d t} = \sum_j \frac{T_j - T_i}{R_{ij}}+Q_i$$

ここで、$C_i$：ノード$N_i$の熱容量、$t$：時間、$Q_i$：ノード$N_i$の発熱量。

これはキルヒホッフの法則と呼ばれています。

時間変化がない定常状態であれば、左辺はゼロとなるため、ノードに出入りする全ての熱流量の総和はゼロとなり、つり合っています。

熱伝達には、伝導、対流、放射などの熱伝達様式がありますが、それぞれについて熱抵抗が定義できます。

詳細は以下のページを参照してください。

流体ながれは、流体抵抗網法で計算しています。流体抵抗網法は、熱回路網法と同様に、流体経路を流体抵抗を用いて定式化します。

流体ノード$N_i$に流入する流量を$V$、ノードから流出する流量を$V'$とすると、流量のつり合いから、以下の式が成り立ちます。

$$\sum_j V_{ij} = \sum_j V'_{ij}$$

また、ノードの圧力を$P_i$、ノード間の流体抵抗係数を$K_{ij}$とすると、

$$P_j - P_i = K_{ij} \frac{\rho u_{ij}^2}{2}$$

ここで、$u_{ij}$：流速（$=V_{ij}/A$）、$A$：断面積

が成り立ちます。これより、流量$V_{ij}$は、

$$V_{ij} =\sqrt{\frac{2A^2}{\rho} \frac{P_j - P_i}{K_{ij}}}$$

と書けます。

これらの式から圧力を求め、各流体経路を流れる流量を計算します。

CATTHMでは、抵抗係数を指定しない場合、直管の管摩擦による流体抵抗で計算します。

直管の抵抗係数$K$は、ダルシー=ワイスバッハの式（Darcy-Weisbach formula）より、

$$K = \lambda \frac{l}{d}$$

ここで、$\lambda$：管摩擦係数、$l$：管の長さ、$d$：管の直径

と表されます。

管摩擦係数は、層流で$\lambda=64/Re$、乱流で$\lambda=0.3164 Re^{-0.25}$（ブラジウスの式）で計算しています。ここで、レイノルズ数 $Re=\rho u d / \mu$。

流体回路のノード$N_i$に対する熱移動は、流体の移流によって運ばれる熱と、熱回路から伝達する熱のつり合いにより、以下の式が成り立ちます。

$$\sum_j \rho Cp V_{ij} T_j + q_i = \sum_j \rho Cp V'_{ij} T_i$$

ここで、$\rho$：流体密度、$Cp$：流体の比熱、$q$：熱回路より流入する熱量。

熱回路モデルとこの式を連成することで、すべてのノードの温度が求まります。

※非定常計算における流体回路の熱容量は、そのノードに接続する管の半分の体積の積算値から計算しています。

定常計算は、双共役勾配法による反復法で解を求めています。非定常計算は、Runge-Kutta-Fehlberg法により、時間刻みを自動で制御して計算しています。