オンライン流体解析CATCFDzeroで使われている基礎方程式です。
目次
基礎方程式
定常状態を仮定しているため、時間変化の項を0とした方程式を考えています。
連続の式
非圧縮性を仮定しています。
$$\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0$$
$u$:速度、$x$:座標
運動量保存式(Navier–Stokes 方程式)
$$S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$
$$F_{bi} = - \rho \beta (T-T_0) g_i$$
$p$:圧力、$\rho$:密度、$\mu$:粘性係数、$\mu_t$:乱流粘性、$F_{bi}$:体積力(ブシネスク近似による浮力)、$T$:温度、$T_0$:基準温度、$\beta$:体膨張率、$g_i$:重力加速度
※浮力が考慮される場合、密度 $\rho$ は基準温度 $T_0$ での基準密度となり、圧力 $p$ は $p-\rho g h$ となっています($h$:高さ)。
温度の式
粘性による発熱の影響は無視しています。
$T$:温度、$C_p$:比熱、$\lambda$:熱伝導率、$Pr = \mu C_p / \lambda$:プラントル数、$Pr_t$:乱流プラントル数
乱流モデル
乱流モデルは、標準k-εモデルを使用しています。
乱流エネルギーの式
$$P_k = 2 \mu_t S_{ij} \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$
$$G_k = \beta g_i \frac{\mu_t}{Pr_t} \frac{\partial T}{\partial x_i}$$
$$\mu_t = \rho C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}$$
$k$:乱流エネルギー、$\varepsilon$:乱流散逸率、$P_k$:速度勾配による生成項、$G_k$:浮力による生成項、$\mu_t$:乱流粘性
乱流散逸率の式
$C_\mu = 0.09$、$C_{\varepsilon 1} = 1.44$、$C_{\varepsilon 2} = 1.92$、$\sigma_k = 1.0$、$\sigma_\varepsilon = 1.3$、$Pr_t = 0.85$
ただし、$G_k < 0$ のときは、$G_k=0$ としています。
壁関数
壁面では壁関数を採用しています。
y^+ & \text{ ($y^+ < y_{lim}^+$)} \\
\ln (E y^+) / \kappa & \text{ ($y^+ >y_{lim}^+$)}
\end{cases}$$
$$y^+ = \rho y u_\tau / \mu$$
$$u_\tau = \sqrt{|\tau_w|/\rho}=C_\mu ^{1/4} k^{1/2}$$
$\tau_w$:壁面せん断応力、$E=9.8$、$\kappa = 0.41$
温度の壁関数は、以下の式を使用しています。
Pr y^+ & \text{ ($y^+ < y_{Tlim}^+$)} \\
Pr_t \left[ \ln (E y^+) / \kappa + P \right] & \text{ ($y^+ >y_{Tlim}^+$)}
\end{cases}$$
乱流境界条件
乱流の流入条件は、内部流れと外部流れでそれぞれ次のように指定しています。
■内部流れ
乱流強度 $I$ と 乱流長さスケール $l$ から求めています。
$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$
$$\varepsilon = \frac{C_\mu^{3/4} k^{3/2}}{l}$$
$I = 0.05 (5\%)$、$l = 0.07 L$、$L$:各流入境界の長さ
■外部流れ
乱流強度 $I$ と 乱流粘性比 $\mu_t / \mu$ から求めています。
$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$
$$\varepsilon = \rho C_\mu \frac{k^2}{\mu} \left(\frac{\mu_t}{\mu} \right)^{-1}$$
$I = 0.01 (1\%)$、$\mu_t / \mu = 1$