基礎方程式

オンライン流体解析CATCFDzeroで使われている基礎方程式です。

基礎方程式

定常状態を仮定しているため、時間変化の項を0とした方程式を考えています。

連続の式

非圧縮性を仮定しています。

$$\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0$$

$u$:速度、$x$:座標

運動量保存式(Navier–Stokes 方程式)

$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j u_i) = - \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[2 (\mu + \mu_t) S_{ij} \right]+F_{bi}$$

$$S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$

$$F_{bi} = - \rho \beta (T-T_0) g_i$$

$p$:圧力、$\rho$:密度、$\mu$:粘性係数、$\mu_t$:乱流粘性、$F_{bi}$:体積力(ブシネスク近似による浮力)、$T$:温度、$T_0$:基準温度、$\beta$:体膨張率、$g_i$:重力加速度

※浮力が考慮される場合、密度 $\rho$ は基準温度 $T_0$ での基準密度となり、圧力 $p$ は $p-\rho g h$ となっています($h$:高さ)。

温度の式

粘性による発熱の影響は無視しています。

$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho C_p u_j T) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[C_p (\frac{\mu}{Pr} + \frac{\mu_t}{Pr_t}) \frac{\partial T}{\partial x_j} \right]$$

$T$:温度、$C_p$:比熱、$\lambda$:熱伝導率、$Pr = \mu C_p / \lambda$:プラントル数、$Pr_t$:乱流プラントル数

乱流モデル

乱流モデルは、標準k-εモデルを使用しています。

乱流エネルギーの式

$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j k) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(\mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k}) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] + P_k + G_k - \rho \varepsilon$$

$$P_k = 2 \mu_t S_{ij} \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$

$$G_k = \beta g_i \frac{\mu_t}{Pr_t} \frac{\partial T}{\partial x_i}$$

$$\mu_t = \rho C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}$$

$k$:乱流エネルギー、$\varepsilon$:乱流散逸率、$P_k$:速度勾配による生成項、$G_k$:浮力による生成項、$\mu_t$:乱流粘性

乱流散逸率の式

$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j \varepsilon) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(\mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon}) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} \right] + C_{\varepsilon 1} \frac{\varepsilon}{k} (P_k + G_k) - C_{\varepsilon 2} \rho \frac{\varepsilon^2}{k}$$

$C_\mu = 0.09$、$C_{\varepsilon 1} = 1.44$、$C_{\varepsilon 2} = 1.92$、$\sigma_k = 1.0$、$\sigma_\varepsilon = 1.3$、$Pr_t = 0.85$

ただし、$G_k < 0$ のときは、$G_k=0$ としています。

壁関数

壁面では壁関数を採用しています。

$$u^+ = \begin{cases}
y^+ & \text{ ($y^+ < y_{lim}^+$)} \\
\ln (E y^+) / \kappa & \text{ ($y^+ >y_{lim}^+$)}
\end{cases}$$

$$y^+ = \rho y u_\tau / \mu$$

$$u_\tau = \sqrt{|\tau_w|/\rho}=C_\mu ^{1/4} k^{1/2}$$

$\tau_w$:壁面せん断応力、$E=9.8$、$\kappa = 0.41$

温度の壁関数は、以下の式を使用しています。

$$T^+ = \frac{\rho C_p C_\mu ^{1/4} k^{1/2}}{q_w}(T_w - T_c)=\begin{cases}
Pr y^+ & \text{ ($y^+ < y_{Tlim}^+$)} \\
Pr_t \left[ \ln (E y^+) / \kappa + P \right] & \text{ ($y^+ >y_{Tlim}^+$)}
\end{cases}$$
Pは、Jayatillekeの式[1]です。
$$P = 9.24 \left[\left(\frac{Pr}{Pr_t} \right)^{3/4} - 1 \right] \left[ 1 + 0.28 \exp \left( \frac{-0.007 Pr}{Pr_t} \right) \right] $$

乱流境界条件

乱流の流入条件は、内部流れと外部流れでそれぞれ次のように指定しています。

内部流れ

乱流強度 $I$ と 乱流長さスケール $l$ から求めています。

$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$

$$\varepsilon = \frac{C_\mu^{3/4} k^{3/2}}{l}$$

$I = 0.05 (5\%)$、$l = 0.07 L$、$L$:各流入境界の長さ

外部流れ

乱流強度 $I$ と 乱流粘性比 $\mu_t / \mu$ から求めています。

$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$

$$\varepsilon = \rho C_\mu \frac{k^2}{\mu} \left(\frac{\mu_t}{\mu} \right)^{-1}$$

$I = 0.01 (1\%)$、$\mu_t / \mu = 1$

参考文献

[1] Jayatilleke, C. The Influence of Prandtl Number and Surface Roughness on the Resistance of the Laminar Sublayer to Momentum and Heat Transfer. Progress in Heat Mass Transfer. 1969, vol. 1,  p. 193-321.


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