オンライン流体解析CATCFDzeroで使われている基礎方程式です。
目次
基礎方程式
定常状態を仮定しているため、時間変化の項を０とした方程式を考えています。
連続の式
非圧縮性を仮定しています。
$$\frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0$$
$u$：速度、$x$：座標
運動量保存式（Navier–Stokes 方程式）
$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j u_i) = - \frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[2 (\mu + \mu_t) S_{ij} \right]+F_{bi}$$
$$S_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$
$$F_{bi} = - \rho \beta (T-T_0) g_i$$
$p$：圧力、$\rho$：密度、$\mu$：粘性係数、$\mu_t$：乱流粘性、$F_{bi}$：体積力（ブシネスク近似による浮力）、$T$：温度、$T_0$：基準温度、$\beta$：体膨張率、$g_i$：重力加速度
※浮力が考慮される場合、密度 $\rho$ は基準温度 $T_0$ での基準密度となり、圧力 $p$ は $p-\rho g h$ となっています（$h$：高さ）。
温度の式
粘性による発熱の影響は無視しています。
$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho C_p u_j T) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[C_p (\frac{\mu}{Pr} + \frac{\mu_t}{Pr_t}) \frac{\partial T}{\partial x_j} \right]$$
$T$：温度、$C_p$：比熱、$\lambda$：熱伝導率、$Pr = \mu C_p / \lambda$：プラントル数、$Pr_t$：乱流プラントル数
拡散物質の式
拡散物質はパッシブスカラーとして扱い、流れ場に影響を与えません。
$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j C) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(\frac{\mu}{Sc} + \frac{\mu_t}{Sc_t}) \frac{\partial C}{\partial x_j} \right]$$
$C$：濃度、$D$：拡散係数、$Sc = \mu / (\rho D)$：シュミット数、$Sc_t$：乱流シュミット数
乱流モデル
乱流モデルは、標準k-εモデルを使用しています。
乱流エネルギーの式
$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j k) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(\mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k}) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] + P_k + G_k - \rho \varepsilon$$
$$P_k = 2 \mu_t S_{ij} \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$
$$G_k = \beta g_i \frac{\mu_t}{Pr_t} \frac{\partial T}{\partial x_i}$$
$$\mu_t = \rho C_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}$$
$k$：乱流エネルギー、$\varepsilon$：乱流散逸率、$P_k$：速度勾配による生成項、$G_k$：浮力による生成項、$\mu_t$：乱流粘性
乱流散逸率の式
$$\frac{\partial}{\partial x_j}(\rho u_j \varepsilon) = \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(\mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon}) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x_j} \right] + C_{\varepsilon 1} \frac{\varepsilon}{k} (P_k + G_k) - C_{\varepsilon 2} \rho \frac{\varepsilon^2}{k}$$
$C_\mu = 0.09$、$C_{\varepsilon 1} = 1.44$、$C_{\varepsilon 2} = 1.92$、$\sigma_k = 1.0$、$\sigma_\varepsilon = 1.3$、$Pr_t = 0.85$
ただし、$G_k < 0$ のときは、$G_k=0$ としています。
壁関数
壁面では壁関数を採用しています。
$$u^+ = \begin{cases}
y^+ & \text{ ($y^+ < y_{lim}^+$)} \\
\ln (E y^+) / \kappa & \text{ ($y^+ >y_{lim}^+$)}
\end{cases}$$
$$y^+ = \rho y u_\tau / \mu$$
$$u_\tau = \sqrt{|\tau_w|/\rho}=C_\mu ^{1/4} k^{1/2}$$
$\tau_w$：壁面せん断応力、$E=9.8$、$\kappa = 0.41$
温度の壁関数は、以下の式を使用しています。
$$T^+ = \frac{\rho C_p C_\mu ^{1/4} k^{1/2}}{q_w}(T_w - T_c)=\begin{cases}
Pr \ y^+ & \text{ ($y^+ < y_{Tlim}^+$)} \\
Pr_t \left[ \ln (E y^+) / \kappa + P \right] & \text{ ($y^+ >y_{Tlim}^+$)}
\end{cases}$$
$q_w$：熱流束
$P$ は、Jayatillekeの式[1]です。
$$P = 9.24 \left[\left(\frac{Pr}{Pr_t} \right)^{3/4} - 1 \right] \left[ 1 + 0.28 \exp \left( \frac{-0.007 Pr}{Pr_t} \right) \right] $$
拡散物質濃度の壁関数は、以下の式を使用しています。
$$C^+ = \frac{\rho C_\mu ^{1/4} k^{1/2}}{J_w}(C_w - C_c)=\begin{cases}
Sc \ y^+ & \text{ ($y^+ < y_{Clim}^+$)} \\
Sc_t \left[ \ln (E y^+) / \kappa + P \right] & \text{ ($y^+ >y_{Clim}^+$)}
\end{cases}$$
$J_w$：質量流束
$P$ は、前述の関数で $Pr$ を $Sc$ に置き換えたものです。
乱流境界条件
乱流の流入条件は、内部流れと外部流れでそれぞれ次のように指定しています。
■内部流れ
乱流強度 $I$ と 乱流長さスケール $l$ から求めています。
$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$
$$\varepsilon = \frac{C_\mu^{3/4} k^{3/2}}{l}$$
$I = 0.05 (5\%)$、$l = 0.07 L$、$L$：各流入境界の長さ
■外部流れ
乱流強度 $I$ と 乱流粘性比 $\mu_t / \mu$ から求めています。
$$k = \frac{3}{2} (uI)^2$$
$$\varepsilon = \rho C_\mu \frac{k^2}{\mu} \left(\frac{\mu_t}{\mu} \right)^{-1}$$
$I = 0.01 (1\%)$、$\mu_t / \mu = 1$