CATTHMの理論式

オンライン熱解析CATTHMの理論式を説明します。

熱回路網法

CATTHMでは熱回路網法に基づいた定式化で計算を行っています。

熱回路網法とは、熱伝達経路を電気回路のアナロジーで構築し計算する手法です。

あるノード$N_i$の温度$T_i$は、そのノードに接続する全てのノード$N_j$からの熱流量により決定します。ノード間の熱抵抗を$R_{ij}$とすると、以下の式が成り立ちます。

$$C_i \frac{d T_i}{d t} = \sum_j \frac{T_j - T_i}{R_{ij}}+Q_i$$

ここで、$C_i$:ノード$N_i$の熱容量、$t$:時間、$Q_i$:ノード$N_i$の発熱量。

これはキルヒホッフの法則と呼ばれています。

キルヒホッフの法則

時間変化がない定常状態であれば、左辺はゼロとなるため、ノードに出入りする全ての熱流量の総和はゼロとなり、つり合っています。

熱抵抗

熱伝達には、伝導、対流、放射などの熱伝達様式がありますが、それぞれについて熱抵抗が定義できます。

詳細は以下のページを参照してください。

「オンライン熱解析CATTHM」のための熱抵抗、熱容量を計算するページです。伝導、対流などによる熱抵抗およびその合成熱抵抗を求めることができます。また、熱容量も計算できます。

流体抵抗網法

流体ながれは、流体抵抗網法で計算しています。流体抵抗網法は、熱回路網法と同様に、流体経路を流体抵抗を用いて定式化します。

流体抵抗網法

流体ノード$N_i$に流入する流量を$V$、ノードから流出する流量を$V'$とすると、流量のつり合いから、以下の式が成り立ちます。

$$\sum_j V_{ij} = \sum_j V'_{ij}$$

また、ノードの圧力を$P_i$、ノード間の流体抵抗係数を$K_{ij}$とすると、

$$P_j - P_i = K_{ij} \frac{\rho u_{ij}^2}{2}$$

ここで、$u_{ij}$:流速($=V_{ij}/A$)、$A$:断面積

が成り立ちます。これより、流量$V_{ij}$は、

$$V_{ij} =\sqrt{\frac{2A^2}{\rho} \frac{P_j - P_i}{K_{ij}}}$$

と書けます。

これらの式から圧力を求め、各流体経路を流れる流量を計算します。

直管の抵抗係数

CATTHMでは、抵抗係数を指定しない場合、直管の管摩擦による流体抵抗で計算します。

直管の抵抗係数$K$は、ダルシー=ワイスバッハの式(Darcy-Weisbach formula)より、

$$K = \lambda \frac{l}{d}$$

ここで、$\lambda$:管摩擦係数、$l$:管の長さ、$d$:管の直径

と表されます。

管摩擦係数は、層流で$\lambda=64/Re$、乱流で$\lambda=0.3164 Re^{-0.25}$(ブラジウスの式)で計算しています。ここで、レイノルズ数 $Re=\rho u d / \mu$。

流路内の熱移動

流体回路のノード$N_i$に対する熱移動は、流体の移流によって運ばれる熱と、熱回路から伝達する熱のつり合いにより、以下の式が成り立ちます。

$$\sum_j \rho Cp V_{ij} T_j + q_i = \sum_j \rho Cp V'_{ij} T_i$$

ここで、$\rho$:流体密度、$Cp$:流体の比熱、$q$:熱回路より流入する熱量。

熱回路モデルとこの式を連成することで、すべてのノードの温度が求まります。

数値解法

定常計算は、双共役勾配法による反復法で解を求めています。非定常計算は、Runge-Kutta-Fehlberg法により、時間刻みを自動で制御して計算しています。


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